下面是小编为大家整理的第9讲：椭圆第三定义（范文推荐）,供大家参考。
第 第 9 讲：椭圆的第三定义 1. 基础知识：
如图，椭圆2 22 21 ( 0)x ya ba b 上任意一点 P 与过原点为中心的弦 AB 的两端点 A 、 B 连线 PA 、 PB与坐标轴不平行，则直线 PA 、 PB 的斜率之积PA PBk k 为定值22ba ． ． 证明 设 设 ( , ) P x y ，1 1( , ) A x y ，则1 1( , ) B x y ．所以 12222 byax ①
1221221 byax
② 由 ① － ② 得22122212by yax x ， 所 以22212212abx xy y ， 所 以2 2 21 1 12 2 21 1 1PA PBy y y y y y bk kx x x x x x a 为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.
2. 典例：
：(2019 年高考数学课标全国 Ⅱ 卷理科) 已知点 2,0 A ， 2,0 B ，动点 , M x y 满足直线 AM 与BM 的斜率之积为12 ．记 M 的轨迹为曲线 C ． ． 1 求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； 2 过坐标原点的直线交 C 于 , P Q 两点，点 P 在第一象限， PE x 轴，垂足为 E ，连结 QE 并延长交 C 于点 G ． ． i 证明：
POG △ 是直角三角形； ii 求 POG △ 面积的最大值． 【详解】
（ （1 ）直线 AM 的斜率为 ( 2)2yxx ，直线 BM 的斜率为 ( 2)2yxx，由题意可知：OxyPAB
2 212 4,( 2)2 2 2y yx y xx x 线 ，所以曲线 C 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 2 21, 24 2x yx ； ； （ （2 ）（i ）设直线 PQ 的方程为 ykx , 由题意可知 0 k , 直线 PQ 的方程与椭圆方程2 22 4 x y 联立,即 即22 222,,2 12 4. 2.2 1xy kxkx y kyk 或222,2 12.2 1xkkyk ,点 点 P 在第一象限，所以2 2 2 22 2 2 2( , ), ( , )2 1 2 1 2 1 2 1k kP Qk k k k ，因此点 E 的坐标为22( ,0)2 1 k 直线 QE 的斜率为2QEkk ，可得直线 QE 方程：222 1k ky xk ，与椭圆方程联立，22 2,22 12 4.k ky xkx y ，消去 y 得，2 22 2224 12 8(2 ) 02 12 1k x kk xkk （ （* ），设点1 1( , ) G x y ，显然 Q 点的横坐标222 1 k和1x 是方程（* ）的解 所以有2221 122 2 212 82 6 42 122 1 ( 2) 2 1kkkx xkk k k ，代入直线 QE 方程中，得 312 22( 2) 2 1kyk k ，所以点 G 的坐标为2 32 2 2 26 4 2( , )( 2) 2 1 ( 2) 2 1k kk k k k ， ， 直线 PG 的斜率为; 33 2 2 2 22 2 22 2 22 22 2 ( 2) 1 ( 2) 2 1 2 16 4 2 6 4 2( 2)( 2) 2 1 2 1PGk kk k k k k kkk k k kk k k , 因为1( ) 1,PQ PGk k kk 所以 PQ PG ，因此 PQG 是直角三角形； （ （ii ）由（i ）可知：2 2 2 22 2 2 2( , ), ( , )2 1 2 1 2 1 2 1k kP Qk k k k ， ，
G 的坐标为2 32 2 2 26 4 2( , )( 2) 2 1 ( 2) 2 1k kk k k k ， ， 22 22 2 2 2 22 2 2 2 4 1( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1k k kPQk k k k k ， ， 2 3 22 22 2 2 2 2 2 2 26 4 2 2 2 4 1( ) ( )( 2) 2 1 2 1 ( 2) 2 1 2 1 ( 2) 2 1k k k k kPGk k k k k k k k , 2 2 34 22 2 21 4 1 4 1 8( )2 2 5 2( 2) 2 1 2 1PQGk k k k kSk kk k k 4 2"4 2 28( 1)( 1)(2 3 2)(2 5 2)k k k kSk k , 因为 0 k ，所以当 0 1 k 时，"0 S ，函数( ) S k 单调递增，当 1 k 时，"0 S ，函数 ( ) S k 单调递减，因此当 1 k 时，函数 ( ) S k 有最大值，最大值为16(1)9S .
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